Themenbild

Nachricht

Beitragsseiten

8. Vertiefungen

8.1 Ableitung der Abhängigkeit des Wasserdruckes von der Wassertiefe h

Zur Herleitung denken wir uns aus dem Wasser eine Säule mit der Grundfläche A und der Höhe h abgegrenzt. Das Wasser soll sich in einem Zustand vollständiger Ruhe befinden.

Die Kraft, mit der die Wassersäule auf das darunterliegende Wasser drückt, ist die Erdanziehungskraft FE = mW∙g, mit der die Erde diese Wassersäule nach unten zieht. Darin ist mW die Masse der Wassersäule (g eine Konstante). Um die gesuchte Abhängigkeit von h zu erhalten, drücken wir die Masse mithilfe der Dichte ρW des Wassers aus. Unter der Dichte versteht man die auf das Volumen bezogene Masse: ρW = mW/VW, d.h. nach Umstellung ist die Masse des Wassers mW = ρW∙VW. Eingesetzt in die Formel für die Gewichtskraft und Ersetzen des Volumens VW durch VW = A∙h (gleich Grundfläche mal Höhe) erhalten wir

FE = mW∙g = ρW∙VW∙g = ρW∙A∙h∙g.

 


Abb. 9: Druckkraft einer Wassersäule mit Grundfläche A und Höhe h

Das darunterliegende Wasser drückt genauso stark nach oben. Würde das unter der Wassersäule befindliche Wasser nicht genauso stark zurückdrücken, würde die Wasserssäule absinken oder nach oben aus dem Wasser herausgedrückt werden, was man nicht beobachten kann. Die Druckkraft FD, mit der die Wassersäule auf die Unterseite A der Wassersäule drückt, ist gleich der Gewichtskraft der Wassersäule FE. Damit ist

FD = FE = ρW∙h∙g·A        Druckkraft im Wasser in der Tiefe h auf eine Fläche A

Somit ist auch auf rechnerischem Wege klar, dass die Druckkraft im Wasser gegen eine Fläche A mit der Tiefe h zunimmt. Aus der Formel folgt, dass sich bei doppelter Tauchtiefe h auch die Druckkraft verdoppelt.

Ein Zahlenbeispiel:

Die Unterseite eines getauchten U-Bootes befindet sich 50 m unter der Wasseroberfläche. Die Länge beträgt 50 m und die Breite im Mittel 8 m. Welche Druckkraft wird auf die Unterseite ausgeübt? Die Dichte des Wassers ist ρ = 1000kg/m³, g beträgt 9,81N/kg. Einsetzen der Werte in FD = ρW∙h∙g·A liefert:

FD = 1000kg/m³·50m·9,81N/kg·50m·8m = 1,96·107·N = 19.600.000 N.

Zum Vergleich: Die Erde zieht an einer 1-Liter-Packung Milch mit einer Kraft von etwa 10 N.

 

Die obige Formel für die Druckkraft gilt auch für andere Flüssigkeiten, wie z.B. Öl. Man muss dann aber für die Dichte ρ die Dichte des Öls einsetzen. Da ρÖl kleiner als ρW ist, ist der Druck in Öl bei der Tiefe h kleiner als in Wasser.

 

Hinweis

In Lehrbüchern der Physik wird vorzugsweise der Begriff des Druckes verwendet. Ein Motiv für diese neue physikalische Größe ist, ein Maß für das Drücken unabhängig von der gedrückten Fläche angeben zu können. Denn die Druckkraft des Wassers auf das Boot hängt, wie eben gezeigt, sowohl von der Wassertiefe h ab, in der sich das Boot befindet, als auch von der Größe der Fläche A, gegen die gedrückt wird. Die Größe Druckkraft pro Flächeneinheit, also FD/A, ist unabhängig von A. Denn wenn wir F= ρh g A durch die Fläche A teilen, erhalten wir FD = ρW h g. Druckkraft pro Flächeneinheit ist in der Physik ein Maß für den Druck p, der Druck in der Tiefe h beträgt damit

p = ρW h g

Der Vorteil dieser physikalischen Größe besteht darin, dass man bei bekannter Wassertiefe h – und damit bekanntem Druck p = ρh g – für jede beliebige Fläche A die darauf wirkende Druckkraft angeben kann: F= p A = ρh g A.

Man kann es auch so sehen: Die Druckkraft auf die Fläche A eines Körpers wird zerlegt in eine Eigenschaft des Wasser, nämlich in der Tiefe h einen Druck von p = ρh g zu haben, und eine Eigenschaft des Körpers, die Fläche A.

 

 

8.2 Vertiefung – Auftrieb und Gewicht der verdrängten Wassermenge – das Archimedische Prinzip

Archimedes hat einen einfachen Zusammenhang zur Bestimmung der Größe der Auftriebskraft gefunden, der im Folgenden dargestellt werden soll. Zur Ableitung dieses Zusammenhanges stellen wir uns vor, dass ein U-Boot oder ein quaderförmiger Körper mit der Höhe hB und der Grundfläche A (er hat dann das Volumen V= A∙hB) vollständig in Wasser eingetaucht ist. An der Stelle, wo er sich jetzt unter Wasser befindet, ist natürlich kein Wasser mehr, man sagt, er hat dort das Wasser „verdrängt“. Das Volumen der verdrängten Wassermenge VW ist gleich dem Volumen VK des eingetauchten Körpers: V= VW.

 


Abb. 10: Auftrieb und verdrängte Wassermenge.

Wie oben dargestellt, ist die Auftriebskraft gleich der Differenz der Druckkräfte:

FA = Fu - Fo

Wir setzen die Druckkräfte ein und formen um:

FA = Fu - Fo = ρW∙(ho + hB)∙g∙A - ρW∙ho∙g∙A = ρW hB∙A∙g = ρW∙VK∙g = ρW∙VW∙g = mW∙g.

Der letzte Term ist die Erdanziehungskraft auf die von dem Körper verdrängten Wassermenge. Damit gilt:

 

„Der Auftrieb eines in Wasser eingetauchten Körpers ist genauso groß wie die Erdanziehungskraft auf die von ihm verdrängte Wassermenge.”

Archimedisches Prinzip

 

8.3 Vertiefung – Auftrieb und Vergleich der Dichten

Kennt man die Dichte ρK des eingetauchten Körpers und die Dichte des Mediums (Wasser ρW oder Öl ρÖl, …), dann kann man sofort entscheiden, ob der Körper aufsteigt, schwebt oder sinkt. Hat der Körper das Volumen VK, dann ist nach dem Archimedischen Prinzip der Auftrieb (also die Differenz aus der nach oben und der nach unten wirkenden Druckkraft) gegeben durch FA = ρW VK g, falls der Körper vollständig eingetaucht ist. ρW ist die Dichte des Wassers (Dichte ρ = Masse/Volumen). Die dem Auftrieb entgegengesetzt wirkende Erdanziehungskraft auf den Körper ist FK = ρK VK g. Hier ist die Dichte des Körpers einzusetzen!

In Abschnitt 5 hatten wir als Ergebnis erhalten: ist der Auftrieb FA größer als die Erdanziehungskraft FK des Körpers, dann steigt er auf, bis er schwimmt; sind beide Kräfte gleich, schwebt er; ist die Erdanziehungskraft größer als der Auftrieb, sinkt er. Es gelten also die Ungleichungen

FA > FK        Steigen (bis zum Schwimmen),

FA = FK        Schweben,

FA < FK        Sinken (bis zum Liegen am Boden).

FA und FK enthalten die gemeinsamen Faktoren VK und g. Kürzen wir z.B. die Ungleichung für die Bedingung Steigen

FA = ρW VK·g > FK = ρK·VK·g

durch die gemeinsamen Faktoren VK und g, so erhalten wir als Bedingung für das Steigen bis zum Schwimmen den Vergleich der Dichte vom Wasser mit der Dichte des Körpers:

ρW > ρK.

In gleicher Weise erhält man die beiden anderen Vergleiche der Dichten. Insgesamt gelten damit die Bedingungen:

ρW > ρK        Steigen (bis zum Schwimmen)

ρW = ρK        Schweben

ρW < ρK        Sinken (bis zum Liegen am Boden)

Ist die Dichte des Körpers also kleiner als die von Wasser, dann steigt er auf; sind die Dichten gleich, dann schwebt er; ist die Dichte des Körpers größer als die des Wassers, dann geht er unter. Öl schwimmt auf dem Wasser, weil seine Dichte kleiner ist als die von Wasser.

Für die besonders interessanten Anwendungen auf Schiffe, Boote u.a. Körper, die oben offen sind, ist der Dichtevergleich nicht so einfach. Denn was ist das Volumen eines Ruderbootes oder das eines Kreuzfahrtschiffes?

 

 

Bewerten Sie diesen Abschnitt!
Aktuelle Bewertung der Inhalte dieses Abschnitts:  
Bewertung 4.50 (3 Stimmen)


Klicken Sie auf einen Stern, um die Inhalte dieses Abschnitts zu bewerten. Sie helfen uns, SUPRA weiter zu verbessern. Falls Sie Fehler finden sollten, z.B. Rechtschreibfehler, tote Links oder Unstimmigkeiten – wir freuen uns über Ihre Verbesserungsvorschläge und aktive Mithilfe. Schreiben Sie uns! Vielen Dank!

Bewertung von Inhalten

Mit dieser Funktion können Sie die Inhalte dieses Abschnitts oder Themas bewerten. Die gelben Sterne geben den Mittelwert aller bisherigen Bewertungen dieses Abschitts wider – die Gesamtzahl der abgebenen Stimmen erscheint in Klammern dahinter. Bewegen Sie den Mauszeiger über die Sterne und klicken Sie auf die Anzahl der Sterne (von links), die Sie vergeben möchten (Sterne fäben sich rötlich). Die Bewertung einer Seite ist nur einmal pro Besuch möglich.

Die Anzahl der Sterne bedeutet:
1 Stern = Inhalte sind in dieser Form unbrauchbar
2 Sterne = Inhalte sind mangelhaft – wichtige Details fehlen
3 Sterne = Inhalte sind ausbaufähig, einiges ist brauchbar
4 Sterne = Brauchbar – Inhalte sind eine gute Hilfe
5 Sterne = Sehr gut – das Angebot ist eine sehr große Hilfe


Danke für Ihre Mithilfe, das Angebot von SUPRA weiter zu verbessern.
Ausführlicheres Feedback und Korrekturvorschläge nehmen wir gerne entgegen – schreiben Sie uns!